Les 23 conjectures du mathématicien allemand David Hilbert

Une conjecture est une hypothèse qui n’a pas été validée. Une sorte de théorème non prouvé.

Le mathématicien allemand David Hilbert a listé, en 1900, un ensemble de 23 conjectures. Son objectif était, si ces conjectures pouvaient être prouvées, d’établir une sorte de système mathématique universel où, à partir d’un certain nombre de postulats, on pouvait prouver l’ensemble des mathématiques.

A l’inverse du théorème, le postulat est une hypothèse de base qui n’a pas à être prouvée et qui doit être admise telle quelle. L’exemple le plus célèbre est le 5ème postulat d’Euclide, dit des parallèles : « A partir d’un point extérieur à une droite, on ne peut établir qu’une seule parallèle à cette droite. »

De nombreux mathématiciens ont cherché à transformer en théorème ce postulat d’Euclide, et n’y sont pas parvenus. Jusqu’au jour où, ayant accepté que ce soit un postulat, des mathématiciens ont conçu des systèmes où ce postulat n’était pas respecté, et ont créé des géométries dites non-euclidiennes

- Au début du 19ème siècle, Nikolai Ivanovitch Lobatchevsky (université de Kazan) et Janos Bolyai (Cluj en Transylvanie) ont postulé que par un point extérieur à une droite, on pouvait établir plusieurs parallèles à cette droite. Cela a conduit à une géométrie non-euclidienne de type hyperbolique.

- Dans le même temps, Bernhard Riemann a postulé autrement que par un point extérieur à une droite, on ne pouvait établir aucune parallèle à cette droite. Cela conduit à une autre géométrie non – euclidienne, dit elliptique.

Certaines des 23 conjectures de David Hilbert ont pu être prouvées, se transformant en théorèmes. Les autres ont continué à être étudiées jusqu’au jour où un mathématicien autrichien, Kurt Gödel a établi en 1932 le principe d’incomplétude qui indique que, quel que soit l’ensemble des postulats de base que l’on se donne, il existera toujours des conjectures qui ne pourront être prouvées ; on ne pourra démontrer ni qu’elles sont correctes, ni qu’elles sont fausses, ni même qu’elles sont indécidables. Ce qui de manière lapidaire, peut s’exprimer sous la forme : « La perfection n’est pas de ce monde ». Seules, les religions, qui n’ont pas besoin d’être prouvées, peuvent atteindre la perfection. Mais on sort alors du domaine rationnel, qui est celui des mathématiques. Une autre manière d’exprimer cela est de dire : « La vie est plus riche que la théorie ».

En l’an 2000, un institut américain dénommé « Clay Institute » a listé 7 conjectures, à l’instar des 23 conjectures de David Hilbert, pour lesquelles une dotation de 1 million de $ était offerte pour chaque conjecture prouvée.

Parmi ces conjectures, appelées problèmes du millénaire, la conjecture dite de Poincaré, a été démontrée par un mathématicien russe juif habitant Saint-Pétersbourg, appelé Grigori Perelman. Ce dernier a refusé le prix de 1 million de $, déclarant qu’il n’avait pas besoin de ça, ayant suffisamment de quoi vivre ; il a également refusé la médaille Fields décernée par l’académie norvégienne d’Oslo, une sorte de prix nobel de mathématiques, qui n’existe pas parcque Nobel aurait refuser de décerner ce prix sous prétexte que sa femme l’avait trompé avec un mathématicien.

La conjecture la plus célèbre parmi les 7 problèmes du millénaire, toujours non prouvée, s’appelle l’hypothèse de Riemanndu nom du mathématicien allemand Bernhard Riemann qui l’a établie.

Georg Friedrich Bernhard Riemann, né le 17septembre1826 à Breselenz, Royaume de Hanovre, mort le 20juillet1866 à Selasca, hameau de la commune de Verbania, Italie, est un mathématicienallemand. Influent sur le plan théorique, il a apporté de nombreuses contributions importantes à la topologie, l'analyse, la géométrie différentielle et le calcul, certaines d'entre elles ayant permis par la suite le développement de la relativité générale.

Dans sa thèse, présentée en 1851, Riemann met au point la théorie des fonctions d'une variable complexe, introduisant notamment le concept des surfaces qui portent son nom, notamment la sphère de Riemann. Il approfondira cette théorie en 1857, en faisant progresser la théorie des fonctions abéliennes.

Hypothèse de Riemann

En mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, selon laquelle les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous une partie réelle égale à 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers et ouvrirait des nouveaux domaines aux mathématiques.

La fonction zêta de Riemann

C’est ne suite infinie des inverses de nombres entiers successifs portés à la puissance z, où z est une variable complexe.

Les zéros de cette fonction de z, sont dans 2 familles :

• Des nombres réels négatifs

• Des nombres complexes ayant une partie réelle 1/2, et une partie imaginaire des entiers qui sont des nombres premiers.

Un nombre premier est un entier qui n’est divisible que par lui-même et par 1. Ainsi 11 est un nombre premier alors que 12 n’est pas premier , car il admet 4 autres diviseurs, qui sont 2, 3, 4 et 6.

Actuellement tous ces zéros de la fonction zêta de Riemann ont donc comme partie réelle 1/2. On n’est pas capable de le prouver ! C’est donc cela l’hypothèse de Riemann.